Description
硬币购物一共有4种硬币。面值分别为c1,c2,c3,c4。某人去商店买东西,去了tot次。每次带di枚ci硬币,买si的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。
Input
第一行 c1,c2,c3,c4,tot 下面tot行 d1,d2,d3,d4,s,其中di,s<=100000,tot<=1000
Output
Sample Input
1 2 5 10 2 3 2 3 1 10 1000 2 2 2 900 Sample Output
题解
显然直接用多重背包做会超时,先不考虑每种硬币数量的限制,设$f[i]$为不考虑每种硬币数量的限制时,面值为$i$的方案数,则状态转移方程就呼之欲出了:$f[i]={\sum f[i-c[k]]}$,$i-c[k]>=0$,$1<=k<=4$
为避免方案重复,要以$k$为阶段递推,边界条件为$f[0]=1$,这样预处理的时间复杂度就是$O(s)$。
接下来对于每次询问,根据容斥原理,答案即为得到面值为$S$的不超过限制的方案数=得到面值$S$的无限制的方案数即$f[s]$
– 第$1$种硬币超过限制的方案数 – 第$2$种硬币超过限制的方案数 – 第$3$种硬币超过限制的方案数 – 第$4$种硬币超过限制的方案数
+ 第$1$,$2$种硬币同时超过限制的方案数 + 第$1$,$3$种硬币同时超过限制的方案数 + …… + 第$1$,$2$,$3$,$4$种硬币全部同时超过限制的方案数。
用$dfs$实现,当选择的个数是奇数时用减号否则用加号。
当第$1$种硬币超过限制时,只要要用到$D[1]+1$枚硬币,剩余的硬币可以任意分配,所以方案数为 $F[ S – (D[1]+1)*C[1] ]$,
当且仅当$(S – (D[1]+1)*C[1])>=0$,否则方案数为$0$。其余情况类似,每次询问只用问$16$次,所以询问的时间复杂度为$O(1)$。
1 //It is made by Awson on 2017.9.24 2 #include 3 #include